数学模型在贷款项目中的应用
小额贷款项目的评判，归根到底是对与客户关联的主观及客观因素的研究；诸如客户的性格、企业经营理念等主观因素仅为我们定性分析提供一定依据，而作为高风险的小额贷款项目，经过交叉检验后的真实数据才是我们评判项目的有效佐证。另一方面，如何正确处理这些从各方面反映企业经营的离散信息，进而得出对项目的最终评判，定量分析无疑为我们开辟了一条康庄大道；而定量分析中，建立数学模型，进行回归分析再作出数理演绎的方法无疑最为快速且有效。
本文将通过对国产汽车经销行业贷款项目的研究，例证数学模型在贷款项目中的应用。特别需要补充的是，在不影响项目研究的前提下，为保护客户私密信息，本文将不涉及企业真实名字，但保留了项目的原始数据以确保论证的真实性。
项目情况概述
客户情况介绍
A公司原代理甲品牌皮卡，因皮卡销售利润较低，拟将库存6辆皮卡合计以35万元处理；此后，A公司将作为某知名国产汽车生产企业B公司的区域一级经销商，经销B公司旗下一款SUV汽车，目前每台该汽车市场售价约9.5万元；另A公司已完成第一批18台汽车的采购。
A公司现欲再购进一批汽车到网点销售，由于企业自有资金不足，拟向小贷公司申请流动资金贷款150万元，期限90天。届时以A公司汽车销售收入和销售返利作为上述贷款的还款来源。
企业经营测算
收入测算 （设A公司每月汽车销售数量为n）
新车销售
月均销售收入
=新车销售均价×月销售数量
=9.5n
销售返利
为激励经销商拓宽销售渠道，A公司每销售一部汽车，B公司承诺将给予一定返利，返利比例如下：
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每月返利金额
=每台单价×月销售数量×平均返利比例
=9.5n×（0.06+0.075+0.08）÷3
成本测算
固定成本
租金净支出（根据企业提供的土地租赁合同整理）
A公司以48元/㎡/月的价格向当地股份合作经济社租入土地2400㎡，每月租金支出为11.52万元，又以50元/㎡/月的价格将1514.29㎡土地出租给第三方，每月租金收入约7.57万元，则每月A公司租金支出测算如下：
每月租金净支出
=两地块每月支出租金和 - 两地块每月收入租金和
=11.52万元-7.57万元
=3.95万元
广告费用
根据A公司与B公司的合作协议,广告费用由两家公司平分。目前，A公司与“汽车之家”签订了为期一年的广告，合计费用5万元，则A公司实际每月负担该“汽车之家”的广告费测算如下：
A公司应付广告费
=总广告支出÷2÷12
=2083.33元/月
人工成本（企业提供的工资表）
A公司共有职工11人，据统计企业提供的工资表，人均工资3000元/月，则每月人工成本测算如下：
每月应付人工工资
=员工人数×人均工资标准
=11×3000
=33000元/月
水电费用（根据企业提供的水电费单据）
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说明：水费支出主要为洗车耗用，按照上述对企业近三个月水电费统计，整块场地平均每月水电费支出约2117.68元；同时，据现场考察，A公司与上述第三方占地面积比约1比6，则归属A公司每月消耗的水电费如下：
每月A公司应付水电费
=每月水电费合计×A公司所占总面积比例
=2117.68×[1÷（1+6）]
≈302.53元/月
变动成本
店面建设费用
据企业实际控制人所述，A公司将建造700㎡店面，工程总价约150万元，建造方式为工程队带资承包建造，A公司需要预支约20万元的工程前期款项，项目竣工后剩余的130万元需要在一年内结清。另外，A公司每销售一台汽车B公司将给予0.1万元的店面建设补贴，直至覆盖其店面造价。
现假设工程竣工后余款按照每月等价支付，则每月应承担的店面建设费用测算如下：每月店面工程费用分摊测算
=工程竣工后应付款÷12 - 每辆汽车的店面建设补贴×月销售量
=130÷12-0.1n
新车采购成本
按新车销售毛利约7%、网上售价9.5万元/台计算，月均新车采购成本测算如下：
新车采购成本
=网上均价×月销量÷（1+毛利率）=9.5n÷（1+7%）
融资成本
鉴于小贷公司资金用于新车的购买，故小贷公司贷款金额（L）与每月销售数量（n）存在下列关系：
n= L÷[9.5÷（1+7%）]+18
移项整理得，L=9.5×（n-18）÷（1+7%）
按照月利率2%计算，并将上式代入融资成本的公式，得出每月融资成本如下：
融资成本
=借款金额×月利率
=L×0.02
=[9.5×（n-18）÷（1+7%）]×0.02
数学模型设计及回归分析
根据以上分析，可整理出如下A公司月收入与月成本一览表（单位：万元）：
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净利润函数模拟
每月净利润（p）
≈总收入合计-总成本合计
=10.1808n-（15.1253+8.9561n）
得p=1.2247n-15.1253
回归分析下的盈亏平衡点测算
将p=0，代入上述公式：p=1.2247n-15.1253，计算得n≈12.35台，向后取整为n=13台。
上述结果表明，当A公司每月销售13台汽车，企业处于盈亏平衡点，保持收支平衡，既不赚钱也不亏钱。但考虑到当企业处于盈亏平衡点时，其销售水平小于其库存（18台）。该情况可理解为，A公司达到盈亏平衡点时不需要小贷公司资金的支持，故需要剔除上述“变动成本”中小贷公司“融资成本”部分，所以考虑盈亏平衡点时应将上述公式进行如下修正：
每月净利润（p）
=总收入合计-（总成本合计-融资成本）
=10.1808n-｛ (15.1253+8.9561n)-[9.5×(n-18)÷（1+7%）]×0.02｝
整理上式可得出：p=1.4023n-18.32163
再将p=0代入等式，此时n≈13.07台。
由于上述计算结果仍然小于其目前库存18台，故上述公式调整合理。
推算结论：当企业月销量为13台汽车时，企业处于盈亏平衡点，保持收支平衡，既不赚钱也不亏钱；另外由于上述函数为增函数，故当月销量小于13台时，其销售获利将无法覆盖其固定成本，企业将面临关门停业的风险。
通过下面函数图像可以更直观地理解上述推算的关系：
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说明：当n＞18时，即A公司需要向小贷公司申请贷款购入汽车时,上图阴影部分则代表融资成本区间；可以看出，随着汽车采购量的增加，融资成本也不断上升。
每辆汽车对净利润贡献度的非线性回归测算
每辆汽车对净利润贡献度（C）表示，每销售一辆汽车为企业带来的理论现金流入，数值上与每月净利润（p）及每月销售数量（n）存在以下关系：
每辆汽车对净利润贡献度（C）
=p/n
=(1.2247n-15.1253)÷n
即C=1.2247-15.1253÷n
推算结论：
由上面推导出来的公式可以看出，每辆汽车对净利润的贡献度（C）与汽车销售数量（n）呈正相关关系，表示随着汽车销量的提升，每销售一辆汽车为企业带来的理论现金流入将不断上升，原因是销量的递增将稀释固定成本。
另一方面，当n趋近于无限大时，C值将趋于极限，即常数1.2247。该数值表示当n趋于无限大时，固定成本将可忽略不计（相当于被销量完全稀释），并且每销售一台汽车可为企业创造1.2247万元的理论净现金流入，此数值具体可理解为销售收入、返利及变动成本的综合作用后的单位净利润。
小贷公司贷款金额与月净利润的线性回归分析
设小贷公司发放的贷款金额为L，毛利率为7%，则每月汽车销量n可表示为：
n= L÷[9.5÷（1+7%）]+18
代入上述“每月净利润”公式，可得以下方程等式:
p=1.2247×[L÷9.5×（1+7%）+18]- 15.1253
即p=0.1379L+6.9193
推算结论：将L=150代入上述公式计算，p≈27.6万元，表示若A公司将小贷公司发放的150万元贷款用于汽车采购，则理论上每月可为企业带来27.6万元净利润。
小贷公司贷款金额与合理贷款期限的非线性回归分析
接上述分析，单以企业营运资金归还小贷公司贷款的合理期限T可推算为：
T=（L-35）/p
将p=0.1379L+6.919代入上式，则：
T =（L-35）/(0.1379L+6.919)，其中35万元为处置皮卡的营业外所得，故L应大于35。
对小贷公司贷款金额L取不同值并代入上式，得到的测算结果列表如下：
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推算结论：由上面测算列表可看出，在单以A公司营运资金产生的净现金流归还小贷公司贷款的假设下，若A公司向小贷公司申请150万元贷款，取整后需要5个月后（向后取整）才能归还；若A公司仅借款3个月，小贷公司最多给予的资金支持应为95万元。
回归分析结论整理：
第一，月净利润p与月销售数量n呈线性正相关关系，具体为p=1.2247n-15.1253，即随着销售数量的上升，净利润水平不断提高。
第二，每辆汽车对净利润的贡献度C与月销售数量n呈非线性正相关关系，具体为C=1.2247-15.1253÷n（n≥13）。当n=13时，企业处于盈亏平衡；当n趋向于无限大时，每卖出一辆汽车为企业带来的净现金流入约1.22万元，该数值包含了汽车销售净利润及销售返利，此时固定成本已经充分稀释并可忽略不计。
第三，月净利润p与贷款金额L呈线性正相关关系，具体为p=0.1379L+6.9193，由公式可以推导出，小贷公司每1万元的资金支持，可以为企业创造0.13万元的净利润。
第四，贷款金额L与合理借款周期T（即仅以企业日常经营资金归还小贷公司贷款的贷款期限）呈非线性正相关关系，其数学模型符合双曲线函数特征，具体为T =（L-35）/(0.1379L+6.9193)，若A公司向小贷公司申请150万元借款，借款期限定为5个月较合理。
数学模型应用总结：
根据上述分析过程可以提炼出，数学模型对于贷款项目的重要作用如下：
检验客户需求的客观性，有助于确定企业合理用款期限。
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在贷款项目的审查中，我们往往专注于对客户资产、负债及经营状况的调查而忽视了客户提出的用款金额及用款期限是否相匹配，由于小贷公司的资金使用成本较高，客户过小的金额和过长的用款期限，或者过大的金额和过短的用款期限都是不合理的，而通过对企业基本面的数学模型分析，有助于将用款金额和用款期限进行量化配比，从而推断出最适合用款企业向小贷公司申请的借款金额和与之相匹配的用款期限。
评估客户发展的持续性，有助于演绎企业未来经营成果。
通过建立数学模型，将反映企业经营情况的诸如人工成本、销售费用、水电费用、租金费用、营业收支等各方面，经过交叉检验后得出的真实数据，通过函数模拟的方法，进行相关性分析，从而对客户未来盈利水平通过数学代入、演绎的方式逐一呈现；因此，数学模型在贷款项目中不但可以评判当下企业经营成果，更重要的是为小贷公司的决策者展现用款企业未来价值创造的可能性，并提供有效的决策工具。
搭建不同行业的信息库，有助于形成企业数据分析平台。
小贷公司在贷款项目中将接触到各行各业的客户，鉴于大数据时代的思潮下，如何建立属于小贷公司的数据管理和分析平台，将是未来几年行业发展一个必须面临的命题。个人认为，通过对同一行业、不同客户的分析，运用计量经济学的变量分析方法，数学模型自身将不断修正、拓展和完善。经过上述过程的积累和完善，将可以为小贷公司搭建针对不同行业的数据分析平台，为贷款项目提供快速且客观的评判，更突出小贷行业便捷、高效的特点，提高客户服务的满意度。
上文以A公司贷款项目作为实例，阐述了数理分析和归纳演绎的方法论在小贷行业的应用，由此可以看出，数学工具对我们日常的审贷工作而言并不是空中楼阁，而是将零散、有效的信息进行定量分析，得出项目评判的桥梁。
个人认为，对于贷款项目而言，宏观的行业定性评价及微观的企业定量分析如同天平的两端，缺一则失衡；通过对数据筛选、整理、建模、演绎的研究过程，企业的经营轮廓逐渐明晰，从现实推算未来将有据可依。当然，数学建模只是专门针对于研究企业经营状况的一种工具；对项目的评判还要结合企业资产、负债及关联客户的道德风险等因素。一叶障目不见泰山，也许挡在事物真相的面前只是一个有效的连接，数学建模也许就是针对贷款项目的桥梁之一。
Via:中汇万贝
金融工程, 数学算法, 小贷, 公司
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