有效资产组合的数学描述

根据第一部分的定性解析,资者有效资产组合的选择分三个步骤:

第一步寻求有效资产组合集;

第二步确定投入者的无差异曲线及其方程;

第三步根据投入者的不满足性和危机厌恶性选择有效资产组合,确定投入方案.

有效资产组合集的形成

寻求有效资产组合集的实质即为从点(O,rf)出发的射线中与危机资产组合有效集相切的切点合集M的危机资产构成.根据图(1)可知使得该射线与横轴的夹角(设为δ)达到最大,所以此问题可归结为(1)式表示的数学规划问题.设市场上有N 种危机资产,此时无危机利率为rf,ri(i=1,2,3…N)表示第1种危机资产的收益率，δi(i=1,2,3…N)表示第1种危机资产的收益率的标准差，δij(i,j=1,2,3…N.) 表示任两种危机资产的收益率的协方差.由这N种危机资产构成的组合P的期望收益率,其标准差 ,,若满足（1）式条件，则组合P为危机资产组合M,并求Xi,确定危机资产构成.

.(1)

(1)式为约束极值问题，因为,将其带入目标函数消去约束方程，则（1）式变成无约束极值问题，如（2）式.

,. (2)对于（2）式，为使θ最大，即要求

(i=1,2,…，N),若设,则参照文献[2] 给出的推导，整理并简化得如下方程组（3）：

(i=1,2,3...,N) . (3)

方程组（3）有N个方程，N个未知数Zi(1,2,3...,N).因为rf,δNi 已知，Zi(1,2,3...,N)的解是确定的，从而Xi 的解也是确定的，所以危机资产有效组合M随之确定.此时，可求出overline{r}_M,delta_M，确定有效资产组合集，其为从点（O,rf）出发斜率为的射线,该射线即为资本市场线,其方程为:

无差异曲线的形成

投入者的无差异曲线反映了投入者对收益-危机组合的同样满足程度参考文献[3]关于危机容忍度的讨论,设投入者的投入收益率和危机分别表示为r和δ,则其无差异曲线方程可表示为

r = a + bδ. (5)

其中a,b为已知常数,所以投入者的无差异曲线如图(1)所示的I.

有效资产组合的形成

对于理性投入者,可以确定其资产组合肯定同时落在有效资产组合集和无差异曲线上,若设投入者资产组合的收益率为r0,收益率的标准差为

δo,则其满足(4)式和(5)式,即

. (7)根据投入者的不满足性和危机厌恶性特征,投入者的资产组合集O若为有效资产组合,则O点一定是(7)式表示的曲线与(6)式表示的射线唯一的相切点.根据切点含义,在O点处由(6)式和(7)式表示的曲线斜率相等，即

. (8)根据有效资产组合集的性质,投入者的有效资产组合O是由无危机资产和有效危机资产组合M构成,若设投入有效危机资产组合的资金比例为W,则投入无危机资产的比例为1-W,所以

δO = WδM ,将其代入(8)式得

. (9)由(9)式确定W,就可以确定该投入者有效资产组合的构成,即无危机资产的资金比例为1-W,任一危机资产的资金比例为WXi,(i=1,2,...,N),所以特定投入者就可以按上述投入比例确定其有效资产组合.

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